Introducción

En este caso, analizaremos la respuesta de un sistema de un grado de libertad sometido a una fuerza externa armónica, considerando el efecto del amortiguamiento. Este escenario es más realista que el caso sin amortiguamiento, ya que todas las estructuras reales experimentan algún grado de disipación de energía.

Ecuación del movimiento

La ecuación diferencial que describe el movimiento de este sistema es:

$$ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0 \sin(\omega t) $$

Donde:

• m = masa del sistema
• c = coeficiente de amortiguamiento
• k = rigidez del sistema
• F_0 = amplitud de la fuerza externa
• ω = frecuencia de la fuerza externa

Solución de la ecuación diferencial

La solución de esta ecuación diferencial consta de dos partes:

1. Solución homogénea (transitoria)

$$ x_h(t) = e^{-\zeta \omega_n t}(A \cos(\omega_d t) + B \sin(\omega_d t)) $$

Donde:

• ζ = factor de amortiguamiento (c / (2mω_n))
• ω_n = frecuencia natural del sistema (√(k/m))
• ω_d = frecuencia natural amortiguada (ω_n√(1-ζ²))
• A y B son constantes que dependen de las condiciones iniciales